第3-4节 不定积分（2）

主要内容：第二类换元积分法

教学目的及要求：掌握第二类换元积分法，会利用第二类换元积分法求不定积分．

教学重点：第二类换元积分法的运算过程

教学难点：利用第二类换元积分法求不定积分

教学方法及手段：以讲授为主，使用电子教案

教学时间：100分钟

时间分配：

1. 开始部分 （10分钟）

2. 讲授课程 （70分钟）

3. 课堂讨论 （10分钟）

4. 内容小结 （10分钟）

教学过程：

一、 第二类换元法

上面讲的第一换元法是通过凑微分的途径，把一个复杂的积分化成较简单的积分，其中。但是，有时不易找到有效的凑微分式，则可反过来考虑问题，能否找到一个变量代换，将积分化成积分，而后者是容易求积分的，例如，在求不定积分

时就会遇到这种情况。

求这个积分的困难在于凑微分法对此处的根式无能为力。但若作一变量代换

则由于于是原来含有根式的被积表达式就化成为较简单的三角函数式，即

因为时，有单值反函数,并由计算出。最后可得

从这个例子的解题过程出发，可归结出第二换元积分法，并将其表述为

定理 设单调可微，且，若，

则 （1）

其中是

证 由假设，又由复合函数及反函数微分法，有

这表明（1）式右端的导数等于左端的被积函数，所以由不定积分的定义可知（1）式成立。

例1 求

解 容易看出，此处若令 即可把被积表达式中的根式化去。

因，故

得

为了把和换成的函数，可根据画一直角三角形（称作换元三角形）

如下图所示。于是有，因此得

其中

例2 求

解 和上例类似，可设由上图可知，于是

再由上图知：，代入上式即得：

其中

上述例子表明，当被积函数含有二次根式时，利用大家熟知的三角恒等式

以及相应的变量代换，可以化去这些根式，称这类代换为三角代换，它们在第二类换元法中时常用到。

当然，在化去根式时，也可采用其他适当的代换，例如倒数代换。

例3 求

解 作倒数代换，则，于是

当

当相同的结果。

注意，此题若用三角代换去解，则要麻烦得多，读者不妨一试。