第1节 导数概念
主要内容：导数的定义、几何意义，可导性与连续性的关系．
教学目的及要求：理解导数的定义，了解导数的几何意义，掌握函数可导性与连续性的关系．
教学重点：导数的定义．
教学难点：可导性与连续性的关系．
教学方法及手段：以讲授为主，使用电子教案
教学时间：100分钟
时间分配：
1. 开始部分 （10分钟）
2. 讲授课程 （70分钟）
3. 课堂讨论 （10分钟）
4. 内容小结 （10分钟）
教学过程：
一、引例
1．自由落体运动的瞬时速度问题
如图，求
时刻的瞬时速度，取一邻近于
的时刻
，运动时间为
，则平均速度
．
当
时，取极限得瞬时速度
．
2．切线问题
割线的极限位置——切线
如图, 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.
极限位置即
，
切线
的斜率为 
以上两例虽然涉及的研究领域不同，一个是物理上的瞬时速度问题，一个是几何上的切线斜率问题，但是都出现了同一形式的极限的计算，即
．此极限是函数的增量与自变量的增量之比当自变量增量趋向于零时的极限，称之为函数的导数．
二、导数的定义
定义1 设函数
在点
的某个邻域内有定义，当自变量
在点处取得改变量
时，函数取得相应的改变量
，如果当
时，
的极限存在，即
存在，则称此极限值为函数在点处的导数值（或微商），可记作：
，
，
，
注：1、常用的导数形式还有：
；
（令
）等
2、实际问题中，常将导数称为变化率。它反映了函数y随自变量x的变化
而变化的快慢程度；
3 、
，而
是常数
的导数．
由定义求导数的步骤:
（1）求增量
；
（2）算比值
；
（3）求极限
．
例1
讨论函数
在
处的可导性
解
，
，
．
即
，所以函数
在点不可导．
三、函数求导举例
1. 常数的导数
（
为常数）
证 
，有
，于是
．
注意：常数函数的图形为水平直线，其上任一点的切线的斜率均为0．
2. 幂函数的导数
（
为非零实数）
证 令
，其定义域为
．
，有
而当
时，
．在上式中使用此等价无穷小量代换，得：
，当时，
3. 对数函数的导数
（
）,特别地，当
证 令
，
，有：
4. 三角函数的导数
（1）
证 令
， ，有：
（2）
证 令， ，有：
四、导数的几何意义
设函数在点的导数存在，为，则导数值为函数上一点（，）处的切线的斜率．此时，切线方程为：
。
例2
求
的切线方程，使此切线与
平行．
解 设切点为（，
），则有
，
由题设，切线斜率与相同，则
．
，即
．
可解得
，
．
切线方程为：
即
．
五、左、右导数
定义2 设函数在的某邻域内有定义，如果
存在，则称之为在点处的左导数，记作
；如果
存在，则称之为在点处的右导数，记作
．
左右导数统称为单侧导数．
显然，函数
在点
处可导
左导数
和右导数
都存在且相等.
例3 设
，求
．
解 
定义3 (区间可导)
1.函数在开区间
可导，是指：
，都有在点可导，即点点可导．
2.函数在闭区间
可导是指同时满足以下两条：
（1）函数在开区间可导；
（2）函数在左端点有右导数，在右端点有左导数．
定义4（导函数的定义）如果函数在区间I内可导，即在区间I内每一点，都有一个导数值
与它对应，则是区间I上的一个函数，称之为在区间I上的导函数，简称为导数，记作
，
，
，
．
例4
求
的导函数．
解 ，有
，
于是
即
，线性函数的导数是常数．
注：本题说明直线上任意点的切线都是此直线本身．
六、可导与连续的关系
定理1 如果函数