第２节　函数极限

主要内容：函数极限的定义及函数极限的性质

教学目的及要求：理解函数极限的定义，了解函数极限的性质．

教学重点：函数极限的定义

教学难点：函数极限的性质

教学方法及手段：以讲授为主，使用电子教案

教学时间：100分钟

时间分配：

1. 开始部分 （10分钟）

2. 讲授课程 （70分钟）

3. 课堂讨论 （10分钟）

4. 内容小结 （10分钟）

教学过程：

一、函数极限的定义

1．自变量趋于有限值时函数的极限

定义1 ，，当 时，恒有 ，则称趋于时，以(常数)为极限。记为：

，或 ()

注：（1）定义中的刻画与常数的接近程度，刻画与的接近程度；是任意给定的，一般是随而确定，但不唯一．

（2）定义中的表示与距离小于，而表示，因此表示．所以当时，有没有极限与在点是否有定义并无关系．

定义2 若从左(右)侧，即趋于时，以为极限，即：，，当 () 时，有：，则称为时，的左(右)极限，记：或 (或)。

定理1

2．自变量趋于无穷大时函数的极限

引例：研究 时函数的变化情况。

见图(略)

直观可见：无限增大时，无限地接近于常数1。也即：无限增大时，可以任意小。

对，要 ， ，即：当时， 成立。

故称趋于无穷大时，以常数1为极限。

定义3 ，，当 时，有 ，则称趋于无穷大时，以常数为极限。记： 或 。

注 1.刻划与的接近程度，刻划充分大的程度；

2. 时的情况：

情形，

。

情形，

。

3．极限不存在的例：

无穷无极限， 振荡无极限。

例如：，。

例

证 ，要 ， ，

取 ，

故：对 ，，当 时，有 ，。

几何意义：

设： ，

见图：(略)

由图可见：对 ，不论二直线 形成的带形区域多么狭窄，总 ，当 时，所有对应点 都落在此带形区域内。

二、函数极限的性质

定理2（函数极限的唯一性） 若存在，那么这极限唯一．

定理3 （函数极限的局部有界性）若，那么存在常数和　，使得当时，有．

定理4 （函数极限的局部保号性）若，且()，则 ，当时，()．

定理5 若 ，且 ()，则()．

三、小结与提问:

数列与函数：研究 及时其变化规律

数列与函数极限：极限思想、精确定义、几何意义

收敛数列的性质：有界性、唯一性、子数列的收敛性．